169

1 + 6 + 9

Сумма цифр, повторяемая до одной цифры; равна n по модулю 9 (с 9 для кратных 9).

При перевороте даёт 961.

При делении на 2 даёт остаток 1.

Составное — разлагается как 13^2.

1 различный простой множитель, 2 с кратностью.

Хотя бы одно простое входит в квадрате.

Произведение ровно двух простых, считая с кратностью.

Одно простое, возведённое в степень.

Каждый простой множитель входит хотя бы в квадрате.

Нуль, потому что квадрат простого делит n.

Разрыв между ними — 6.

1, 13, 169

Собственные делители — всё, кроме самого n.

Его собственные делители не дотягивают на 155.

Сколько целых от 1 до n не имеют с n общих множителей.

0² + 13² = 169 · 5² + 12² = 169

Теорема Лежандра о трёх квадратах это допускает.

Теорема Лагранжа о четырёх квадратах: любое неотрицательное целое таково, без исключений.

Сложение квадратов его цифр попадает в цикл 4 → 16 → 37 → … → 4.

Не делится на сумму своих цифр 16.

По пути достигает 4 372.