Tabuada

A tabuada decimal mais antiga já encontrada é chinesa. Entre as tiras de bambu de Tsinghua, um conjunto de manuscritos do período dos Reinos Combatentes doado à Universidade Tsinghua em 2008 e datado de cerca de 305 a.C., há vinte e uma tiras que juntas formam uma grade: lê-se ao longo de uma linha e descendo uma coluna, e o produto fica onde as duas se encontram. Ela serve para inteiros até 99 e para metades, e é séculos mais antiga que qualquer outra tabela decimal conhecida.

Escribas babilônios mantinham tabuadas muito antes, em tabuletas de argila de cerca de 2000–1600 a.C., mas em base sessenta, e cada tabuleta costumava listar os múltiplos de um único número. O quadro que boa parte da Europa chama de tábua de Pitágoras — tavola pitagorica, table de Pythagore — não tem nenhuma ligação conhecida com Pitágoras. A atribuição vem de autores posteriores; uma grade de dez por dez desse tipo aparece na Introdução à Aritmética de Nicômaco de Gerasa, escrita por volta do ano 100.

Decorar a tabuada também é uma prática antiga. A cantilena chinesa chamava-se jiujiu, “nove noves”, porque era recitada de 9 × 9 para baixo; o Japão a adotou como kuku, e tabuletas de madeira do século VIII trazem fragmentos dela. Em 1617, John Napier recortou a tabela em varetas numeradas, os ossos de Napier, para que multiplicações longas fossem feitas lendo e somando.

Por que doze? As tabelas britânicas e indianas param em 12 × 12 sobretudo por causa do dinheiro e das medidas: havia doze pence num xelim e doze polegadas num pé. Grande parte da Europa para em 10 × 10. A Inglaterra transformou a tabuada em prova nacional em 2022, quando os alunos do Year 4 fizeram pela primeira vez a avaliação obrigatória de tabuada, que vai até 12 × 12.

Propriedades principais

• A multiplicação é comutativa, então a tabela é simétrica em relação à diagonal: uma tabela de 12 × 12 tem 144 casas, mas só 78 pares de fatores diferentes.
• A diagonal de uma tabela de multiplicação contém os quadrados; a de uma tabela de adição, os dobros.
• Cada linha e cada coluna é uma progressão aritmética: a linha k avança de k em k.
• As casas de uma tabela n × n somam (n(n + 1)/2)², o quadrado de um número triangular — 3.025 para 10 × 10 e 6.084 para 12 × 12.
• Muitos produtos se repetem: uma tabela de 12 × 12 contém só 59 números diferentes, e uma de 10 × 10 só 42.
• A proporção de produtos diferentes diminui conforme a tabela cresce. Paul Erdős mostrou em 1955 que ela tende a zero, e Kevin Ford encontrou a taxa exata em 2008.
• Na tabuada do 9 até 10 × 9, os algarismos de cada produto somam 9, porque 9 é um a menos que a base.

Onde aparecem

• Cadernos escolares na França, na Índia e em muitos outros países trazem a tabuada impressa na contracapa.
• A avaliação obrigatória de tabuada na Inglaterra faz 25 perguntas até 12 × 12 aos alunos do Year 4, cada uma com seis segundos para responder.
• Os ossos de Napier (1617) e as réguas posteriores de Genaille e Lucas transformaram a tabela numa calculadora manual para multiplicações longas.
• Salas de aula do mundo todo têm um cartaz de tabuada na parede, e a tabela em branco é uma das folhas de matemática mais impressas.
• O truque dos dedos para a tabuada do 9 — abaixar o k-ésimo dedo para ler 9 × k — funciona porque o produto é sempre 10(k − 1) + (10 − k).