Tabliczka mnożenia

Najstarsza znana dziesiętna tabliczka mnożenia pochodzi z Chin. Wśród bambusowych listewek z Tsinghua, zbioru rękopisów z okresu Walczących Królestw podarowanego Uniwersytetowi Tsinghua w 2008 roku i datowanego na około 305 rok p.n.e., dwadzieścia jeden listewek tworzy razem siatkę: czyta się wzdłuż wiersza i w dół kolumny, a iloczyn stoi tam, gdzie się spotykają. Działa dla liczb całkowitych do 99 i dla połówek i jest o stulecia starsza od każdej innej znanej tablicy dziesiętnej.

Babilońscy skrybowie prowadzili tablice mnożenia znacznie wcześniej, na glinianych tabliczkach z lat około 2000–1600 p.n.e., ale w systemie sześćdziesiątkowym, a każda tabliczka zwykle podawała wielokrotności jednej liczby. Kwadratowa tablica, którą w dużej części Europy nazywa się tablicą Pitagorasa — tavola pitagorica, table de Pythagore — nie ma żadnego znanego związku z Pitagorasem. Przypisanie pochodzi od późniejszych autorów; siatka dziesięć na dziesięć tego rodzaju pojawia się we Wstępie do arytmetyki Nikomacha z Gerazy, napisanym około 100 roku n.e.

Uczenie się tabliczki na pamięć to także dawna praktyka. Chiński wierszyk nazywał się jiujiu, „dziewięć dziewiątek”, bo recytowano go od 9 × 9 w dół; Japonia przejęła go jako kuku, a drewniane tabliczki z VIII wieku zachowały jego fragmenty. W 1617 roku John Napier pociął tablicę na ponumerowane pałeczki, pałeczki Napiera, tak by długie mnożenie dało się wykonać przez odczytywanie i dodawanie.

Dlaczego dwanaście? Tablice brytyjskie i indyjskie kończą się na 12 × 12 głównie z powodu pieniędzy i miar: szyling miał dwanaście pensów, a stopa dwanaście cali. Większość Europy kończy na 10 × 10. Anglia zrobiła z tabliczki ogólnokrajowy sprawdzian w 2022 roku, gdy uczniowie Year 4 po raz pierwszy przystąpili do obowiązkowego testu tabliczki mnożenia, który obejmuje zakres do 12 × 12.

Najważniejsze właściwości

• Mnożenie jest przemienne, więc tablica jest symetryczna względem przekątnej: tablica 12 × 12 ma 144 pola, ale tylko 78 różnych par czynników.
• Na przekątnej tabliczki mnożenia leżą kwadraty liczb, a na przekątnej tablicy dodawania — podwojenia.
• Każdy wiersz i każda kolumna to ciąg arytmetyczny: wiersz k rośnie o k.
• Pola tablicy n × n sumują się do (n(n + 1)/2)², kwadratu liczby trójkątnej — 3025 dla 10 × 10 i 6084 dla 12 × 12.
• Wiele iloczynów się powtarza: tablica 12 × 12 zawiera tylko 59 różnych liczb, a tablica 10 × 10 tylko 42.
• Udział różnych iloczynów maleje wraz ze wzrostem tablicy. Paul Erdős wykazał w 1955 roku, że dąży on do zera, a Kevin Ford ustalił dokładne tempo w 2008 roku.
• W tabliczce przez 9 do 10 × 9 cyfry każdego iloczynu sumują się do 9, bo 9 jest o jeden mniejsze od podstawy.

Gdzie się pojawiają

• Zeszyty szkolne we Francji, w Indiach i wielu innych krajach mają tabliczkę mnożenia wydrukowaną na tylnej okładce.
• Obowiązkowy test tabliczki mnożenia w Anglii zadaje uczniom Year 4 dwadzieścia pięć pytań do 12 × 12, każde z limitem sześciu sekund.
• Pałeczki Napiera (1617) i późniejsze listwy Genaille’a i Lucasa zamieniły tablicę w ręczny kalkulator do długiego mnożenia.
• W klasach na całym świecie wisi plakat z tabliczką mnożenia, a pusta tablica to jedna z najczęściej drukowanych kart pracy z matematyki.
• Sztuczka z palcami dla tabliczki przez 9 — zgięcie k-tego palca, by odczytać 9 × k — działa, bo iloczyn zawsze wynosi 10(k − 1) + (10 − k).