جدول الضرب

أقدم جدول ضرب عشري عُثر عليه حتى الآن صيني. فمن بين شرائح الخيزران المعروفة بشرائح تسينغهوا، وهي مجموعة مخطوطات من عصر الممالك المتحاربة أُهديت إلى جامعة تسينغهوا عام 2008 ويرجع تاريخها إلى نحو 305 ق.م، توجد إحدى وعشرون شريحة تشكّل معًا شبكة: تقرأ على امتداد صف ونزولًا في عمود، فيكون حاصل الضرب حيث يلتقيان. وهو يصلح للأعداد الصحيحة حتى 99 وللأنصاف، ويسبق كل جدول عشري آخر معروف بقرون.

احتفظ كتبة بابل بجداول الضرب قبل ذلك بكثير، على ألواح طينية من نحو 2000–1600 ق.م، لكن بالنظام الستيني، وكان كل لوح يسرد في الغالب مضاعفات عدد واحد. أما الجدول المربع الذي يُسمى في معظم أوروبا جدول فيثاغورس — tavola pitagorica وtable de Pythagore — فلا صلة معروفة له بفيثاغورس. جاءت هذه النسبة من مؤلفين لاحقين، وتظهر شبكة من عشرة في عشرة من هذا النوع في كتاب مدخل إلى علم العدد لنيقوماخوس الجرشي، الذي كُتب نحو عام 100 م.

وحفظ الجداول عن ظهر قلب عادة قديمة أيضًا. كانت الأنشودة الصينية تُسمى جيوجيو، أي «تسعة تسعة»، لأنها كانت تُتلى من 9 × 9 نزولًا؛ وتبنتها اليابان باسم كوكو، وتحمل ألواح خشبية من القرن الثامن أجزاء منها. وفي عام 1617 قطّع جون نابير الجدول إلى عصيّ مرقمة، هي عظام نابير، كي تُجرى عمليات الضرب الطويلة بالقراءة والجمع.

لماذا اثنا عشر؟ تتوقف الجداول البريطانية والهندية عند 12 × 12 أساسًا بسبب النقود والمقاييس: كان في الشلن اثنا عشر بنسًا وفي القدم اثنتا عشرة بوصة. ويتوقف معظم أوروبا عند 10 × 10. وجعلت إنجلترا جدول الضرب اختبارًا وطنيًا عام 2022، حين خضع تلاميذ Year 4 لأول مرة لاختبار جدول الضرب الإلزامي الذي يمتد حتى 12 × 12.

الخصائص الرئيسية

• الضرب عملية تبديلية، لذلك يكون الجدول متماثلًا حول قطره: في جدول 12 × 12 توجد 144 خانة، لكن 78 زوجًا مختلفًا فقط من العوامل.
• على قطر جدول الضرب تقع الأعداد المربعة، وعلى قطر جدول الجمع تقع الأعداد المضاعفة.
• كل صف وكل عمود متتالية حسابية: الصف k يزداد بمقدار k.
• مجموع خانات جدول n × n يساوي (n(n + 1)/2)²، أي مربع عدد مثلثي: 3,025 لجدول 10 × 10 و6,084 لجدول 12 × 12.
• كثير من نواتج الضرب يتكرر: يحتوي جدول 12 × 12 على 59 عددًا مختلفًا فقط، وجدول 10 × 10 على 42 فقط.
• تتناقص نسبة النواتج المختلفة كلما كبر الجدول. أثبت بول إردوش عام 1955 أنها تؤول إلى الصفر، وحدد كيفن فورد معدلها الدقيق عام 2008.
• في جدول التسعة حتى 10 × 9 يكون مجموع أرقام كل ناتج 9، لأن 9 أقل من الأساس بواحد.

أين تظهر

• تطبع الدفاتر المدرسية في فرنسا والهند وبلدان كثيرة أخرى جدول الضرب على الغلاف الخلفي.
• يطرح اختبار جدول الضرب الإلزامي في إنجلترا على تلاميذ Year 4 خمسة وعشرين سؤالًا حتى 12 × 12، لكل منها ست ثوانٍ.
• حوّلت عظام نابير (1617) ومساطر جيناي ولوكا اللاحقة الجدول إلى آلة حاسبة يدوية للضرب الطويل.
• تُعلّق ملصقات جدول الضرب على جدران الفصول في أنحاء العالم، والجدول الفارغ من أكثر أوراق عمل الرياضيات طباعة.
• حيلة الأصابع لجدول التسعة — ثني الإصبع رقم k لقراءة 9 × k — تنجح لأن الناتج يساوي دائمًا 10(k − 1) + (10 − k).