Tabla de multiplicar

La tabla de multiplicar decimal más antigua que se conoce es china. Entre las tiras de bambú de Tsinghua, un conjunto de manuscritos del periodo de los Reinos Combatientes donado a la Universidad Tsinghua en 2008 y fechado hacia el 305 a. C., hay veintiuna tiras que juntas forman una cuadrícula: se lee a lo largo de una fila y hacia abajo por una columna, y el producto aparece donde se cruzan. Sirve para enteros hasta 99 y para medios, y es siglos anterior a cualquier otra tabla decimal conocida.

Los escribas babilonios tenían tablas de multiplicar mucho antes, en tablillas de arcilla de hacia 2000–1600 a. C., pero en base sesenta, y cada tablilla solía recoger los múltiplos de un solo número. El cuadro que en buena parte de Europa se llama tabla pitagórica —tavola pitagorica, table de Pythagore— no tiene ninguna relación conocida con Pitágoras. La atribución procede de autores posteriores; una cuadrícula de diez por diez de este tipo aparece en la Introducción a la aritmética de Nicómaco de Gerasa, escrita hacia el año 100.

Aprender las tablas de memoria también es una práctica antigua. La cantinela china se llamaba jiujiu, «nueve nueves», porque se recitaba desde 9 × 9 hacia abajo; Japón la adoptó como kuku, y tablillas de madera del siglo VIII conservan fragmentos. En 1617 John Napier recortó la tabla en varillas numeradas, los huesos de Napier, para que las multiplicaciones largas se hicieran leyendo y sumando.

¿Por qué doce? Las tablas británicas e indias llegan hasta 12 × 12 sobre todo por la moneda y las medidas: un chelín tenía doce peniques y un pie, doce pulgadas. Gran parte de Europa se detiene en 10 × 10. Inglaterra convirtió las tablas en prueba nacional en 2022, cuando los alumnos de Year 4 hicieron por primera vez la prueba obligatoria de tablas de multiplicar, que llega hasta 12 × 12.

Propiedades clave

• La multiplicación es conmutativa, así que la tabla es simétrica respecto a su diagonal: una tabla de 12 × 12 tiene 144 casillas pero solo 78 pares de factores distintos.
• La diagonal de una tabla de multiplicar contiene los cuadrados; la de una tabla de sumar, los dobles.
• Cada fila y cada columna es una progresión aritmética: la fila k avanza de k en k.
• Las casillas de una tabla de n × n suman (n(n + 1)/2)², el cuadrado de un número triangular: 3.025 para 10 × 10 y 6.084 para 12 × 12.
• Muchos productos se repiten: una tabla de 12 × 12 solo contiene 59 números distintos, y una de 10 × 10 solo 42.
• La proporción de productos distintos se reduce a medida que la tabla crece. Paul Erdős demostró en 1955 que tiende a cero, y Kevin Ford calculó el ritmo exacto en 2008.
• En la tabla del 9 hasta 10 × 9, las cifras de cada producto suman 9, porque 9 es uno menos que la base.

Dónde aparecen

• Los cuadernos escolares de Francia, la India y muchos otros países imprimen las tablas de multiplicar en la contraportada.
• La prueba obligatoria de tablas en Inglaterra plantea a los alumnos de Year 4 veinticinco preguntas hasta 12 × 12, cada una con un límite de seis segundos.
• Los huesos de Napier (1617) y las posteriores reglas de Genaille-Lucas convirtieron la tabla en una calculadora manual para multiplicaciones largas.
• En las aulas de todo el mundo cuelga un póster de las tablas, y la tabla en blanco es una de las fichas de matemáticas más impresas.
• El truco de los dedos para la tabla del 9 —doblar el dedo k para leer 9 × k— funciona porque el producto siempre es 10(k − 1) + (10 − k).