Einmaleins-Tabelle

Die älteste bisher gefundene dezimale Einmaleins-Tabelle stammt aus China. Unter den Tsinghua-Bambusstreifen, einem Bestand von Handschriften aus der Zeit der Streitenden Reiche, der 2008 der Tsinghua-Universität geschenkt und auf etwa 305 v. Chr. datiert wurde, bilden einundzwanzig Streifen zusammen ein Raster: Man liest eine Zeile entlang und eine Spalte hinab, und das Produkt steht dort, wo sich beide treffen. Es funktioniert für ganze Zahlen bis 99 und für Halbe, und es ist um Jahrhunderte älter als jede andere bekannte Dezimaltabelle.

Babylonische Schreiber führten Multiplikationstabellen schon viel früher, auf Tontafeln aus etwa 2000–1600 v. Chr., allerdings im Sechzigersystem, und jede Tafel listete meist die Vielfachen einer einzigen Zahl auf. Die quadratische Tafel, die man in weiten Teilen Europas Pythagoreische Tafel nennt – tavola pitagorica, table de Pythagore –, hat keine bekannte Verbindung zu Pythagoras. Die Zuschreibung stammt von späteren Autoren; ein Zehn-mal-zehn-Raster dieser Art findet sich in der Einführung in die Arithmetik des Nikomachos von Gerasa, geschrieben um 100 n. Chr.

Auch das Auswendiglernen der Reihen ist eine alte Praxis. Der chinesische Merkvers hieß jiujiu, „neun mal neun“, weil er von 9 × 9 abwärts aufgesagt wurde; Japan übernahm ihn als kuku, und Holztäfelchen aus dem achten Jahrhundert tragen Bruchstücke davon. 1617 zerschnitt John Napier die Tafel in nummerierte Stäbchen, die Napierschen Rechenstäbchen, sodass man lange Multiplikationen durch Ablesen und Addieren erledigen konnte.

Warum zwölf? Britische und indische Tafeln enden bei 12 × 12 vor allem wegen Geld und Maßen: Ein Shilling hatte zwölf Pence, ein Fuß zwölf Zoll. Ein Großteil Europas endet bei 10 × 10. England machte das Einmaleins 2022 zum landesweiten Test, als Schülerinnen und Schüler der vierten Klasse erstmals den verpflichtenden Multiplication Tables Check ablegten, der bis 12 × 12 reicht.

Wichtige Eigenschaften

• Die Multiplikation ist kommutativ, die Tafel ist also symmetrisch zu ihrer Diagonalen: Eine 12-×-12-Tafel hat 144 Felder, aber nur 78 verschiedene Faktorpaare.
• Auf der Diagonalen einer Einmaleins-Tafel stehen die Quadratzahlen, auf der einer Additionstafel die Verdopplungen.
• Jede Zeile und jede Spalte ist eine arithmetische Folge: Zeile k zählt in Schritten von k aufwärts.
• Die Einträge einer n-×-n-Tafel ergeben zusammen (n(n + 1)/2)², das Quadrat einer Dreieckszahl – 3.025 für 10 × 10 und 6.084 für 12 × 12.
• Viele Produkte wiederholen sich: Eine 12-×-12-Tafel enthält nur 59 verschiedene Zahlen, eine 10-×-10-Tafel nur 42.
• Der Anteil verschiedener Produkte schrumpft, je größer die Tafel wird. Paul Erdős zeigte 1955, dass er gegen null geht, und Kevin Ford bestimmte 2008 die genaue Rate.
• In der Neunerreihe bis 10 × 9 ergibt die Quersumme jedes Produkts 9, weil 9 um eins kleiner ist als die Basis.

Wo sie auftauchen

• Schulhefte in Frankreich, Indien und vielen anderen Ländern drucken das Einmaleins auf die Rückseite.
• Der verpflichtende Multiplication Tables Check in England stellt Viertklässlern 25 Aufgaben bis 12 × 12, jede mit einer Zeitgrenze von sechs Sekunden.
• Die Napierschen Rechenstäbchen (1617) und die späteren Genaille-Lucas-Stäbe machten aus der Tafel einen Handrechner für lange Multiplikationen.
• In Klassenzimmern auf der ganzen Welt hängt ein Einmaleins-Plakat, und eine leere Tafel gehört zu den am häufigsten gedruckten Mathe-Arbeitsblättern.
• Der Fingertrick für die Neunerreihe – den k-ten Finger einknicken und 9 × k ablesen – funktioniert, weil das Produkt immer 10(k − 1) + (10 − k) ist.