Bảng cửu chương

Bảng nhân thập phân cổ nhất từng được tìm thấy là của Trung Quốc. Trong các thẻ tre Thanh Hoa, một bộ văn bản thời Chiến Quốc được tặng cho Đại học Thanh Hoa năm 2008 và có niên đại khoảng năm 305 TCN, có hai mươi mốt thẻ ghép lại thành một lưới: đọc dọc theo một hàng và xuống theo một cột, tích nằm ở chỗ hai đường gặp nhau. Bảng dùng được cho số nguyên đến 99 và cho một nửa, và cổ hơn mọi bảng thập phân đã biết hàng thế kỷ.

Các thư lại Babylon đã có bảng nhân từ sớm hơn nhiều, trên những tấm đất sét khoảng năm 2000–1600 TCN, nhưng theo hệ cơ số sáu mươi, và mỗi tấm thường chỉ liệt kê bội của một số. Bảng vuông mà phần lớn châu Âu gọi là bảng Pythagoras — tavola pitagorica, table de Pythagore — không có mối liên hệ nào được biết với Pythagoras. Cái tên ấy đến từ các tác giả đời sau; một lưới mười nhân mười kiểu này xuất hiện trong Nhập môn Số học của Nicomachus xứ Gerasa, viết khoảng năm 100.

Học thuộc bảng nhân cũng là thói quen lâu đời. Bài vè của Trung Quốc gọi là cửu cửu, “chín chín”, vì được đọc từ 9 × 9 trở xuống; Nhật Bản tiếp nhận nó thành kuku, và các thẻ gỗ thế kỷ VIII còn giữ những mảnh của bài vè. Năm 1617, John Napier cắt bảng thành những que đánh số — que Napier — để phép nhân dài chỉ cần đọc rồi cộng lại.

Vì sao lại là mười hai? Bảng của Anh và Ấn Độ dừng ở 12 × 12 chủ yếu vì tiền tệ và đơn vị đo: một shilling có mười hai penny, một foot có mười hai inch. Phần lớn châu Âu dừng ở 10 × 10. Năm 2022, Anh biến bảng nhân thành kỳ kiểm tra toàn quốc, khi học sinh Year 4 lần đầu làm bài kiểm tra bắt buộc về bảng nhân đến 12 × 12.

Tính chất chính

• Phép nhân có tính giao hoán nên bảng đối xứng qua đường chéo: bảng 12 × 12 có 144 ô nhưng chỉ có 78 cặp thừa số khác nhau.
• Đường chéo của bảng nhân chứa các số chính phương; đường chéo của bảng cộng chứa các số gấp đôi.
• Mỗi hàng và mỗi cột là một cấp số cộng: hàng k tăng thêm k mỗi bước.
• Tổng mọi ô của bảng n × n bằng (n(n + 1)/2)², bình phương của một số tam giác — 3.025 với 10 × 10 và 6.084 với 12 × 12.
• Nhiều tích lặp lại: bảng 12 × 12 chỉ chứa 59 số khác nhau, bảng 10 × 10 chỉ có 42.
• Tỉ lệ các tích khác nhau giảm dần khi bảng lớn lên. Paul Erdős chứng minh năm 1955 rằng tỉ lệ đó tiến về 0, và Kevin Ford tìm ra tốc độ chính xác năm 2008.
• Trong bảng nhân 9 đến 10 × 9, tổng các chữ số của mỗi tích bằng 9, vì 9 nhỏ hơn cơ số một đơn vị.

Xuất hiện ở đâu

• Vở học sinh ở Pháp, Ấn Độ và nhiều nước khác in bảng cửu chương ở bìa sau.
• Bài kiểm tra bảng nhân bắt buộc ở Anh hỏi học sinh Year 4 hai mươi lăm câu đến 12 × 12, mỗi câu giới hạn sáu giây.
• Que Napier (1617) và sau này là thước Genaille–Lucas đã biến bảng nhân thành máy tính cầm tay cho phép nhân dài.
• Tường lớp học khắp thế giới treo áp phích bảng cửu chương, và bảng để trống là một trong những phiếu bài tập toán được in nhiều nhất.
• Mẹo ngón tay cho bảng nhân 9 — gập ngón thứ k để đọc 9 × k — đúng vì tích luôn bằng 10(k − 1) + (10 − k).