Tabel perkalian

Tabel perkalian desimal tertua yang pernah ditemukan berasal dari Tiongkok. Di antara bilah bambu Tsinghua, kumpulan naskah dari zaman Negara-Negara Berperang yang disumbangkan ke Universitas Tsinghua pada 2008 dan diperkirakan berasal dari sekitar 305 SM, terdapat dua puluh satu bilah yang bersama-sama membentuk kisi: baca sepanjang satu baris dan turun menyusuri satu kolom, dan hasil kalinya ada di tempat keduanya bertemu. Tabel itu berlaku untuk bilangan bulat hingga 99 dan untuk setengah, serta berabad-abad lebih tua daripada tabel desimal lain yang dikenal.

Juru tulis Babilonia sudah menyimpan tabel perkalian jauh lebih awal, pada lempeng tanah liat dari sekitar 2000–1600 SM, tetapi dalam basis enam puluh, dan setiap lempeng biasanya memuat kelipatan satu bilangan saja. Tabel persegi yang di sebagian besar Eropa disebut tabel Pythagoras — tavola pitagorica, table de Pythagore — tidak memiliki kaitan yang diketahui dengan Pythagoras. Penamaan itu berasal dari penulis-penulis yang lebih kemudian; kisi sepuluh kali sepuluh semacam ini muncul dalam Pengantar Aritmetika karya Nikomakhos dari Gerasa, yang ditulis sekitar tahun 100 M.

Menghafal perkalian juga kebiasaan lama. Lagu hafalan Tiongkok disebut jiujiu, “sembilan sembilan”, karena dilantunkan dari 9 × 9 ke bawah; Jepang mengambilnya sebagai kuku, dan papan kayu dari abad kedelapan memuat potongannya. Pada 1617 John Napier memotong tabel itu menjadi batang-batang bernomor, tulang Napier, sehingga perkalian panjang bisa dikerjakan dengan membaca dan menjumlahkan.

Mengapa dua belas? Tabel di Inggris dan India berhenti di 12 × 12 terutama karena uang dan satuan ukur: satu shilling sama dengan dua belas pence dan satu kaki sama dengan dua belas inci. Sebagian besar Eropa berhenti di 10 × 10. Inggris menjadikan perkalian ujian nasional pada 2022, ketika murid Year 4 untuk pertama kalinya mengikuti tes wajib tabel perkalian yang mencakup hingga 12 × 12.

Sifat utama

• Perkalian bersifat komutatif, jadi tabelnya simetris terhadap diagonal: tabel 12 × 12 punya 144 kotak tetapi hanya 78 pasangan faktor yang berbeda.
• Diagonal tabel perkalian berisi bilangan kuadrat; diagonal tabel penjumlahan berisi bilangan kali dua.
• Setiap baris dan kolom adalah barisan aritmetika: baris k naik k demi k.
• Semua kotak tabel n × n berjumlah (n(n + 1)/2)², kuadrat suatu bilangan segitiga — 3.025 untuk 10 × 10 dan 6.084 untuk 12 × 12.
• Banyak hasil kali berulang: tabel 12 × 12 hanya memuat 59 bilangan berbeda, dan tabel 10 × 10 hanya 42.
• Proporsi hasil kali yang berbeda makin kecil seiring tabel membesar. Paul Erdős menunjukkan pada 1955 bahwa proporsi itu menuju nol, dan Kevin Ford menemukan lajunya yang tepat pada 2008.
• Dalam perkalian 9 sampai 10 × 9, jumlah angka setiap hasil kali adalah 9, karena 9 satu kurangnya dari basis.

Di mana muncul

• Buku tulis sekolah di Prancis, India, dan banyak negara lain mencetak tabel perkalian di sampul belakang.
• Tes wajib tabel perkalian di Inggris memberi murid Year 4 dua puluh lima soal hingga 12 × 12, masing-masing dengan batas waktu enam detik.
• Tulang Napier (1617) dan batang Genaille–Lucas yang muncul kemudian mengubah tabel menjadi kalkulator tangan untuk perkalian panjang.
• Dinding kelas di seluruh dunia dipasangi poster tabel perkalian, dan tabel kosong adalah salah satu lembar kerja matematika yang paling sering dicetak.
• Trik jari untuk perkalian 9 — menekuk jari ke-k untuk membaca 9 × k — berhasil karena hasil kalinya selalu 10(k − 1) + (10 − k).