Reta numérica

A reta numérica é mais nova do que parece. A matemática grega tratava números e comprimentos como coisas de natureza diferente, e a aritmética europeia medieval não tinha uso para números negativos, então não havia nada a pôr à esquerda do zero. A primeira descrição clara da imagem que desenhamos hoje está no Treatise of Algebra de John Wallis, publicado em Londres em 1685. Para dar sentido às quantidades negativas, Wallis imaginou um homem andando para a frente e para trás numa linha: se avança cinco jardas e recua oito, fica três jardas atrás de onde começou. O número negativo era um lugar na linha, do outro lado da partida.

Quando os números ganharam posição, a reta virou o eixo da geometria analítica, a régua contra a qual se mede uma curva. No século XIX ela se tornou algo mais exato. Richard Dedekind, num livro curto de 1872, definiu os números reais de modo que a reta não tivesse buracos: cada ponto dela, inclusive os que, como √2, nenhuma fração alcança, é um número.

Na escola, a reta é uma ferramenta para a passagem de contar a calcular. Somar é um salto para a direita e subtrair um salto para a esquerda, e assim uma criança vê por que 3 − 5 cai abaixo de zero. Pesquisadores holandeses do Instituto Freudenthal promoveram a “reta numérica vazia”, só com as marcas de que um problema precisa, como forma de fazer cálculo mental no papel. Os padrões Common Core dos Estados Unidos pedem que alunos do terceiro ano entendam uma fração como um número na reta — um quarto é a primeira de quatro partes iguais entre 0 e 1 —, e é exatamente para isso que servem as marcas intermediárias aqui.

Propriedades principais

• Os números aumentam para a direita e diminuem para a esquerda; as pontas de seta indicam que a reta continua nos dois sentidos.
• A distância entre dois números na reta é o módulo da diferença, |a − b|, em qualquer ordem.
• Cada número negativo fica tão à esquerda do zero quanto seu oposto positivo fica à direita: −3 é o reflexo de 3 em relação a 0.
• Entre duas frações diferentes sempre existe outra, por exemplo a média delas, então as frações nunca acabam entre duas marcas.
• Nem todo ponto é uma fração: a diagonal de um quadrado unitário, levada à reta com um compasso, marca √2, que é irracional.
• Dividir cada passo inteiro em quatro partes iguais faz 2/4 cair na mesma marca que 1/2: a ideia de frações equivalentes numa só imagem.

Onde aparecem

• Réguas, fitas métricas e termômetros são retas numéricas com unidades, e é num termômetro que a maioria das pessoas conhece os números abaixo de zero.
• As linhas do tempo dos livros de história, em que os anos antes da era comum se estendem para a esquerda como números negativos.
• Os eixos x e y de qualquer gráfico são duas retas numéricas que se cruzam no zero.
• Salas de aula do ensino fundamental, onde uma longa reta numérica na parede serve para contar para a frente, para trás e de tanto em tanto.
• Aulas de frações, em que uma reta dividida em partes iguais mostra que 1/2, 2/4 e 4/8 são o mesmo número.