Çarpım tablosu

Bugüne kadar bulunan en eski onluk çarpım tablosu Çin’e aittir. Savaşan Devletler dönemine ait, 2008’de Tsinghua Üniversitesi’ne bağışlanan ve yaklaşık MÖ 305’e tarihlenen Tsinghua bambu şeritleri arasında, yan yana getirildiğinde bir ızgara oluşturan yirmi bir şerit vardır: Bir satır boyunca ve bir sütun aşağı okunur, çarpım ikisinin kesiştiği yerdedir. 99’a kadar tam sayılar ve yarımlar için işe yarar ve bilinen diğer tüm onluk tablolardan yüzyıllarca eskidir.

Babil katipleri çarpım tablolarını çok daha önce, yaklaşık MÖ 2000–1600 yıllarına ait kil tabletlerde tutuyordu, ama altmışlık tabanda ve her tablet genellikle tek bir sayının katlarını listeliyordu. Avrupa’nın büyük bölümünde Pisagor tablosu denen kare tablonun — tavola pitagorica, table de Pythagore — Pisagor’la bilinen hiçbir bağı yoktur. Bu yakıştırma daha sonraki yazarlardan gelir; bu türden ondan ona bir ızgara, Gerasalı Nikomakhos’un yaklaşık MS 100’de yazdığı Aritmetiğe Giriş’te yer alır.

Çarpım tablosunu ezberlemek de eski bir alışkanlıktır. Çin’deki tekerlemenin adı jiujiu, yani “dokuz dokuz”du, çünkü 9 × 9’dan geriye doğru okunurdu; Japonya onu kuku adıyla benimsedi ve sekizinci yüzyıldan kalma tahta tabletlerde parçaları bulunur. 1617’de John Napier tabloyu numaralı çubuklara böldü; Napier çubukları sayesinde uzun çarpmalar okuyup toplayarak yapılabiliyordu.

Neden on iki? İngiliz ve Hint tabloları 12 × 12’de durur; bunun başlıca nedeni para ve ölçülerdir: Bir şilinde on iki peni, bir ayakta on iki inç vardı. Avrupa’nın büyük kısmı 10 × 10’da durur. İngiltere çarpım tablosunu 2022’de ulusal bir sınava dönüştürdü; o yıl Year 4 öğrencileri ilk kez 12 × 12’ye kadar uzanan zorunlu çarpım tablosu sınavına girdi.

Temel özellikler

• Çarpma değişmeli bir işlemdir, bu yüzden tablo köşegenine göre simetriktir: 12 × 12’lik bir tabloda 144 kare vardır ama yalnızca 78 farklı çarpan çifti bulunur.
• Çarpım tablosunun köşegeninde kare sayılar, toplama tablosunun köşegeninde ise sayıların iki katları yer alır.
• Her satır ve her sütun bir aritmetik dizidir: k’inci satır k’şer artar.
• n × n’lik bir tablonun kareleri toplamda (n(n + 1)/2)², yani bir üçgen sayının karesini verir: 10 × 10 için 3.025, 12 × 12 için 6.084.
• Pek çok çarpım tekrar eder: 12 × 12’lik bir tablo yalnızca 59, 10 × 10’luk bir tablo yalnızca 42 farklı sayı içerir.
• Tablo büyüdükçe farklı çarpımların payı küçülür. Paul Erdős 1955’te bu payın sıfıra gittiğini gösterdi, Kevin Ford da 2008’de tam hızını buldu.
• Dokuzlar dizisinde 10 × 9’a kadar her çarpımın rakamları toplamı 9’dur, çünkü 9 tabandan bir eksiktir.

Nerede karşımıza çıkar

• Fransa’da, Hindistan’da ve başka birçok ülkede okul defterlerinin arka kapağında çarpım tablosu basılıdır.
• İngiltere’deki zorunlu çarpım tablosu sınavı, Year 4 öğrencilerine 12 × 12’ye kadar her biri altı saniye süreli yirmi beş soru sorar.
• Napier çubukları (1617) ve sonraki Genaille-Lucas cetvelleri tabloyu uzun çarpma için bir el hesap makinesine dönüştürdü.
• Dünyanın her yerinde sınıf duvarlarında bir çarpım tablosu afişi asılıdır ve boş tablo en çok yazdırılan matematik çalışma kâğıtlarından biridir.
• Dokuzlar için parmak hilesi — 9 × k’yi okumak için k’inci parmağı bükmek — işe yarar, çünkü çarpım her zaman 10(k − 1) + (10 − k)’dir.