Quadro de valor posicional

Um quadro de valor posicional torna visível a ideia em que o sistema decimal se apoia: o valor de um algarismo depende de onde ele está. O 3 de 307 significa três centenas, o 3 de 37 três dezenas, e o zero está ali para ocupar uma casa vazia e manter o 3 no lugar.

A escrita posicional é mais antiga que os nossos algarismos. Escribas babilônios escreviam números pela posição em base sessenta desde cerca de 2000 a.C., mas durante a maior parte desse tempo sem zero, de modo que uma casa vazia precisava ser adivinhada pelo contexto. O sistema decimal usado hoje no mundo inteiro vem da Índia. O manuscrito de Bakhshali, um texto de aritmética em casca de bétula encontrado em 1881 perto de Peshawar, usa um ponto para o zero, e uma datação por radiocarbono publicada pela Biblioteca Bodleiana de Oxford em 2017 situou algumas de suas folhas no século III ou IV. Em 628, Brahmagupta escreveu regras para calcular com o zero como número de pleno direito.

O sistema viajou para o oeste passando por Bagdá, onde al-Khwarizmi escreveu sobre o cálculo indiano por volta de 825; as traduções latinas dessa obra deram à Europa a palavra algoritmo. O Liber Abaci de Fibonacci, de 1202, defendeu os novos algarismos contra os romanos, que não têm ordens.

As ordens à direita das unidades vieram depois. Al-Uqlidisi usava frações decimais em Damasco em 952–953, e em 1585 o engenheiro flamengo Simon Stevin publicou De Thiende, um folheto curto que pretendia ensinar todo mundo a calcular com décimos, centésimos e milésimos. O separador decimal foi popularizado por John Napier, que o usou em 1617. Os quadros das escolas indianas ainda agrupam as ordens à sua maneira, em milhares, lakhs e crores.

Propriedades principais

• Cada ordem vale dez vezes a ordem à sua direita: um milhar são dez centenas, e um centésimo é um décimo de um décimo.
• O valor de um algarismo é o algarismo vezes o valor da sua ordem, então o 5 de 52,4 vale 5 × 10 = 50.
• A decomposição escreve um número como a soma desses valores: 4.307 = 4.000 + 300 + 7.
• Um zero dentro de um número ocupa uma casa: tire o 0 de 4.307 e o 4 e o 3 deslizam para a direita, formando 437.
• Multiplicar por 10 desloca cada algarismo uma casa para a esquerda, e dividir por 10 desloca uma casa para a direita.
• Nove ordens vão até 999.999.999, um a menos que um bilhão.
• As casas depois da vírgula, décimos, centésimos e milésimos, são as frações 1/10, 1/100 e 1/1000.

Onde aparecem

• O ábaco e o soroban japonês, em que cada haste é uma ordem e cada conta vale unidades, dezenas ou centenas daquela ordem.
• Hodômetros e contadores mecânicos, em que cada roda é uma ordem e gira a próxima ao chegar a dez.
• Cheques e formulários bancários que pedem um valor em algarismos e por extenso: a decomposição, escrita em palavras.
• Salas de aula da Índia, cujos quadros chamam as ordens de unidades, dezenas, centenas, milhares, dezenas de milhar, lakhs, dezenas de lakh e crores, e agrupam os algarismos como 1,00,00,000.
• Dinheiro: em R$ 52,38, os décimos e centésimos são as moedas de dez centavos e de um centavo.