곱셈표

지금까지 발견된 가장 오래된 십진법 곱셈표는 중국의 것입니다. 전국시대 문서로 2008년 칭화대학에 기증되었고 기원전 305년 무렵의 것으로 추정되는 칭화간 가운데, 나란히 놓으면 하나의 격자가 되는 죽간 스물한 개가 있습니다. 한 행을 따라 읽고 한 열을 따라 내려가면 둘이 만나는 곳에 곱이 있습니다. 99까지의 정수와 2분의 1에 쓸 수 있으며, 알려진 다른 어떤 십진법 표보다 몇 세기나 앞섭니다.

바빌로니아 서기들은 훨씬 이전인 기원전 2000–1600년 무렵의 점토판에 곱셈표를 남겼지만, 육십진법이었고 대개 한 점토판에 한 수의 배수만 적었습니다. 유럽 여러 곳에서 피타고라스의 표(tavola pitagorica, table de Pythagore)라고 부르는 정사각형 표는 피타고라스와 알려진 관련이 없습니다. 이 이름은 후대 저자들에게서 왔고, 이런 10 × 10 격자는 서기 100년 무렵 쓰인 게라사의 니코마코스의 『산술 입문』에 나옵니다.

표를 외우는 것도 오래된 관습입니다. 중국의 암송 노래는 9 × 9부터 거꾸로 내려가며 외웠기 때문에 구구라고 불렸습니다. 일본은 이를 쿠쿠로 받아들였고, 8세기 목간에도 그 조각이 남아 있습니다. 1617년 존 네이피어는 표를 번호가 붙은 막대로 잘라 냈습니다. 네이피어의 막대를 쓰면 긴 곱셈도 읽고 더하기만 하면 되었습니다.

왜 12일까요? 영국과 인도의 표가 12 × 12에서 끝나는 것은 주로 화폐와 단위 때문입니다. 1실링은 12펜스, 1피트는 12인치였습니다. 유럽의 많은 곳은 10 × 10에서 멈춥니다. 잉글랜드는 2022년에 구구단을 전국 시험으로 만들었고, 그해 Year 4 학생들이 12 × 12까지 다루는 법정 곱셈표 확인 시험을 처음 치렀습니다.

주요 성질

• 곱셈은 교환법칙이 성립하므로 표는 대각선을 기준으로 대칭입니다. 12 × 12 표에는 144칸이 있지만 서로 다른 인수 쌍은 78개뿐입니다.
• 곱셈표의 대각선에는 제곱수가, 덧셈표의 대각선에는 두 배 수가 놓입니다.
• 모든 행과 열은 등차수열입니다. k행은 k씩 늘어납니다.
• n × n 표의 칸을 모두 더하면 (n(n + 1)/2)², 곧 삼각수의 제곱이 됩니다. 10 × 10이면 3,025, 12 × 12이면 6,084입니다.
• 많은 곱이 되풀이됩니다. 12 × 12 표에 나오는 서로 다른 수는 59개, 10 × 10 표에서는 42개뿐입니다.
• 표가 커질수록 서로 다른 곱의 비율은 줄어듭니다. 에르되시 팔은 1955년에 그 비율이 0으로 간다는 것을 보였고, 케빈 포드는 2008년에 정확한 속도를 구했습니다.
• 9단에서 10 × 9까지는 모든 곱의 각 자리 숫자를 더하면 9가 됩니다. 9가 밑보다 1 작기 때문입니다.

등장하는 곳

• 프랑스, 인도를 비롯한 많은 나라의 학교 공책은 뒤표지에 곱셈표를 인쇄합니다.
• 잉글랜드의 법정 곱셈표 확인 시험은 Year 4 학생에게 12 × 12까지의 문제 25개를 각각 6초 제한 시간으로 냅니다.
• 네이피어의 막대(1617)와 그 뒤의 즈나유–뤼카 막대는 표를 긴 곱셈용 손 계산기로 바꾸었습니다.
• 세계 곳곳의 교실 벽에 곱셈표 포스터가 붙어 있고, 빈 곱셈표는 가장 많이 인쇄되는 수학 학습지 가운데 하나입니다.
• 9단 손가락 셈법(k번째 손가락을 접어 9 × k를 읽는 방법)이 통하는 것은 곱이 언제나 10(k − 1) + (10 − k)이기 때문입니다.