Tia số

Tia số trẻ hơn vẻ ngoài của nó. Toán học Hy Lạp coi số và độ dài là những thứ thuộc loại khác nhau, còn số học châu Âu thời trung cổ không cần đến số âm, nên chẳng có gì để đặt bên trái số 0. Mô tả rõ ràng đầu tiên về hình ảnh ta vẽ ngày nay nằm trong Treatise of Algebra của John Wallis, xuất bản ở London năm 1685. Để cho các đại lượng âm một ý nghĩa, Wallis hình dung một người đi tới đi lui trên một đường thẳng: tiến năm yard rồi lùi tám yard, người đó sẽ đứng sau điểm xuất phát ba yard. Số âm là một chỗ trên đường thẳng, ở phía bên kia điểm xuất phát.

Khi các số đã có vị trí, đường thẳng trở thành trục của hình học giải tích, chiếc thước để đo một đường cong. Đến thế kỷ XIX, nó trở nên chính xác hơn. Richard Dedekind, trong một cuốn sách mỏng năm 1872, định nghĩa số thực sao cho đường thẳng không có lỗ hổng: mọi điểm trên đó, kể cả những điểm như √2 mà không phân số nào chạm tới, đều là một số.

Ở trường, tia số là công cụ cho bước chuyển từ đếm sang tính. Phép cộng là bước nhảy sang phải, phép trừ là bước nhảy sang trái, nên trẻ thấy được vì sao 3 − 5 rơi xuống dưới 0. Các nhà nghiên cứu Hà Lan ở Viện Freudenthal đã phổ biến “tia số trống”, chỉ có những vạch mà bài toán cần, như một cách ghi phép tính nhẩm lên giấy. Bộ chuẩn Common Core ở Mỹ yêu cầu học sinh lớp ba hiểu phân số là một số trên tia số — một phần tư là phần đầu tiên trong bốn phần bằng nhau giữa 0 và 1 — và các vạch chia nhỏ ở đây chính là để làm điều đó.

Tính chất chính

• Số tăng dần sang phải và giảm dần sang trái; đầu mũi tên cho biết tia số kéo dài về cả hai phía.
• Khoảng cách giữa hai số trên tia số là giá trị tuyệt đối của hiệu, |a − b|, dù theo thứ tự nào.
• Mỗi số âm nằm bên trái số 0 xa đúng bằng số dương tương ứng nằm bên phải: −3 là ảnh đối xứng của 3 qua 0.
• Giữa hai phân số khác nhau luôn có một phân số khác, chẳng hạn trung bình của chúng, nên phân số không bao giờ cạn giữa hai vạch.
• Không phải điểm nào cũng là phân số: đường chéo hình vuông đơn vị, quay xuống tia số bằng compa, đánh dấu √2, mà √2 là số vô tỉ.
• Chia mỗi bước nguyên thành bốn phần bằng nhau khiến 2/4 rơi đúng vạch của 1/2: ý tưởng phân số bằng nhau trong một hình.

Xuất hiện ở đâu

• Thước kẻ, thước dây và nhiệt kế là tia số có đơn vị, và hầu hết mọi người gặp số dưới 0 lần đầu trên nhiệt kế.
• Trục thời gian trong sách lịch sử, nơi các năm trước Công nguyên kéo dài sang trái như số âm.
• Trục x và trục y của mọi đồ thị là hai tia số cắt nhau tại 0.
• Lớp học tiểu học, nơi một tia số dài trên tường được dùng để đếm xuôi, đếm ngược và đếm cách.
• Các bài học về phân số, nơi một đường chia thành các phần bằng nhau cho thấy 1/2, 2/4 và 4/8 là cùng một số.