Tabela wartości pozycyjnej

Tabela wartości pozycyjnej uwidacznia ideę, na której opiera się system dziesiątkowy: wartość cyfry zależy od miejsca, w którym stoi. Trójka w 307 oznacza trzy setki, trójka w 37 trzy dziesiątki, a zero jest po to, by zająć puste miejsce i utrzymać trójkę na swoim.

Zapis pozycyjny jest starszy niż nasze cyfry. Babilońscy skrybowie zapisywali liczby według pozycji w systemie sześćdziesiątkowym od około 2000 roku p.n.e., ale przez większość tego czasu bez zera, więc puste miejsce trzeba było zgadywać z kontekstu. System dziesiątkowy używany dziś na całym świecie pochodzi z Indii. Rękopis z Bakhshali, tekst arytmetyczny na korze brzozowej znaleziony w 1881 roku koło Peszawaru, używa kropki jako zera, a datowanie radiowęglowe opublikowane przez oksfordzką Bodleian Library w 2017 roku umieściło niektóre jego karty w III lub IV wieku n.e. W 628 roku Brahmagupta spisał reguły rachowania z zerem jako pełnoprawną liczbą.

System wędrował na zachód przez Bagdad, gdzie al-Chwarizmi pisał o rachunku indyjskim około 825 roku; łacińskie przekłady tego dzieła dały Europie słowo algorytm. Liber Abaci Fibonacciego z 1202 roku przekonywał do nowych cyfr zamiast rzymskich, które w ogóle nie mają rzędów.

Rzędy na prawo od jedności przyszły później. Al-Uklidisi używał ułamków dziesiętnych w Damaszku w latach 952–953, a w 1585 roku flamandzki inżynier Simon Stevin wydał De Thiende, krótką broszurę, która miała nauczyć wszystkich rachowania dziesiątymi, setnymi i tysięcznymi. Sam separator dziesiętny spopularyzował John Napier, który użył go w 1617 roku. Tabele w szkołach indyjskich do dziś grupują rzędy po swojemu, w tysiące, lakhy i crore’y.

Najważniejsze właściwości

• Każdy rząd jest wart dziesięć razy więcej niż rząd po jego prawej: tysiąc to dziesięć setek, a setna to dziesiąta część dziesiątej.
• Wartość cyfry to cyfra razy wartość jej rzędu, więc piątka w 52,4 jest warta 5 × 10 = 50.
• Rozkład na składniki zapisuje liczbę jako sumę tych wartości: 4307 = 4000 + 300 + 7.
• Zero wewnątrz liczby zajmuje miejsce: usuń 0 z 4307, a 4 i 3 przesuną się w prawo, tworząc 437.
• Mnożenie przez 10 przesuwa każdą cyfrę o jedno miejsce w lewo, a dzielenie przez 10 o jedno miejsce w prawo.
• Dziewięć rzędów sięga do 999 999 999, o jeden mniej niż miliard.
• Rzędy po przecinku, dziesiąte, setne i tysięczne, to ułamki 1/10, 1/100 i 1/1000.

Gdzie się pojawiają

• Liczydło i japoński soroban, na których każdy pręt to jeden rząd, a koralik liczy jedności, dziesiątki lub setki tego rzędu.
• Liczniki kilometrów i liczniki mechaniczne, w których każde kółko to rząd i przy dziesięciu przestawia następne.
• Czeki i formularze bankowe, które wymagają kwoty cyframi i słownie — rozkład na składniki, wypisany.
• Klasy w Indiach, gdzie tabele nazywają rzędy jednościami, dziesiątkami, setkami, tysiącami, dziesiątkami tysięcy, lakhami, dziesiątkami lakhów i crore’ami oraz grupują cyfry jako 1,00,00,000.
• Pieniądze: w 52,38 zł dziesiąte i setne to monety dziesięciogroszowe i jednogroszowe.