수직선

수직선은 보기보다 젊습니다. 그리스 수학은 수와 길이를 서로 다른 종류의 것으로 다루었고, 중세 유럽의 산술에는 음수가 쓸모가 없었기에 0의 왼쪽에 놓을 것이 없었습니다. 오늘날 우리가 그리는 그림을 처음 분명하게 설명한 것은 1685년 런던에서 출판된 존 월리스의 『대수학 논고』(Treatise of Algebra)입니다. 음의 양에 뜻을 주기 위해 월리스는 선 위를 앞뒤로 걷는 사람을 떠올렸습니다. 5야드 나아갔다가 8야드 물러서면 출발점에서 3야드 뒤에 서게 됩니다. 음수는 선 위, 출발점 반대편의 한 자리였습니다.

수가 위치를 갖게 되자 직선은 해석기하학의 축, 곧 곡선을 재는 자가 되었습니다. 19세기에는 더 엄밀한 것이 되었습니다. 리하르트 데데킨트는 1872년의 짧은 책에서 직선에 빈틈이 없도록 실수를 정의했습니다. 어떤 분수도 닿지 못하는 √2 같은 점을 포함해 직선 위의 모든 점이 수입니다.

학교에서 수직선은 세기에서 계산하기로 넘어가는 도구입니다. 덧셈은 오른쪽으로, 뺄셈은 왼쪽으로 뛰는 것이어서 아이는 3 − 5가 왜 0 아래로 떨어지는지 볼 수 있습니다. 네덜란드 프로이덴탈 연구소의 연구자들은 문제에 필요한 눈금만 그리는 ‘빈 수직선’을 종이 위에서 암산하는 방법으로 널리 알렸습니다. 미국의 Common Core 기준은 3학년에게 분수를 수직선 위의 수로 이해하도록 요구합니다. 4분의 1은 0과 1 사이를 넷으로 똑같이 나눈 첫 부분이며, 여기 있는 사이 눈금이 바로 그것을 위한 것입니다.

주요 성질

• 수는 오른쪽으로 갈수록 커지고 왼쪽으로 갈수록 작아집니다. 화살표는 직선이 양쪽으로 계속 이어진다는 뜻입니다.
• 직선 위 두 수 사이의 거리는 순서와 상관없이 두 수의 차의 절댓값 |a − b|입니다.
• 모든 음수는 그 짝인 양수가 0의 오른쪽에 있는 만큼 왼쪽에 있습니다. −3은 0을 기준으로 3을 뒤집은 자리입니다.
• 서로 다른 두 분수 사이에는 언제나 다른 분수(예를 들어 두 수의 평균)가 있으므로, 두 눈금 사이의 분수는 결코 바닥나지 않습니다.
• 모든 점이 분수인 것은 아닙니다. 단위 정사각형의 대각선을 컴퍼스로 직선에 옮기면 √2를 표시하는데, √2는 무리수입니다.
• 각 칸을 넷으로 똑같이 나누면 2/4가 1/2과 같은 눈금에 옵니다. 크기가 같은 분수라는 생각이 그림 한 장에 담깁니다.

등장하는 곳

• 자, 줄자, 온도계는 단위가 붙은 수직선이며, 대부분의 사람은 온도계에서 처음으로 0보다 작은 수를 만납니다.
• 역사책의 연표에서는 기원전의 해가 음수처럼 왼쪽으로 뻗어 갑니다.
• 모든 그래프의 x축과 y축은 0에서 만나는 두 수직선입니다.
• 교실 벽에 붙인 긴 수직선으로 이어 세기, 거꾸로 세기, 뛰어 세기를 하는 초등학교 교실.
• 똑같이 나눈 수직선으로 1/2, 2/4, 4/8이 같은 수임을 보여 주는 분수 수업.