Garis bilangan

Garis bilangan lebih muda daripada kelihatannya. Matematika Yunani memperlakukan bilangan dan panjang sebagai hal yang berbeda jenis, dan aritmetika Eropa abad pertengahan tidak memerlukan bilangan negatif, jadi tidak ada yang perlu diletakkan di kiri nol. Uraian jelas pertama tentang gambar yang kita buat sekarang ada dalam Treatise of Algebra karya John Wallis, terbit di London pada 1685. Untuk memberi makna pada besaran negatif, Wallis membayangkan seseorang yang berjalan maju mundur di sepanjang garis: jika ia maju lima yard lalu mundur delapan, ia berdiri tiga yard di belakang titik awalnya. Bilangan negatif adalah sebuah tempat di garis, di seberang titik awal.

Setelah bilangan punya kedudukan, garis itu menjadi sumbu geometri analitik, penggaris tempat sebuah kurva diukur. Pada abad kesembilan belas garis itu menjadi lebih cermat. Richard Dedekind, dalam buku tipis tahun 1872, mendefinisikan bilangan real sehingga garis itu tidak berlubang: setiap titik di atasnya, termasuk titik seperti √2 yang tak terjangkau pecahan mana pun, adalah bilangan.

Di sekolah, garis bilangan adalah alat untuk melangkah dari membilang ke berhitung. Penjumlahan adalah lompatan ke kanan dan pengurangan lompatan ke kiri, sehingga anak bisa melihat mengapa 3 − 5 jatuh di bawah nol. Para peneliti Belanda di Institut Freudenthal memopulerkan “garis bilangan kosong”, yang hanya berisi tanda yang dibutuhkan suatu soal, sebagai cara menuangkan hitung mental ke kertas. Standar Common Core di Amerika Serikat meminta murid kelas tiga memahami pecahan sebagai bilangan pada garis bilangan — seperempat adalah bagian pertama dari empat bagian sama besar antara 0 dan 1 — dan untuk itulah tepatnya tanda-tanda sela di sini.

Sifat utama

• Bilangan makin besar ke kanan dan makin kecil ke kiri; mata panah berarti garis itu terus berlanjut ke dua arah.
• Jarak antara dua bilangan di garis adalah nilai mutlak selisihnya, |a − b|, dalam urutan mana pun.
• Setiap bilangan negatif terletak sejauh di kiri nol seperti pasangan positifnya di kanan: −3 adalah cerminan 3 terhadap 0.
• Di antara dua pecahan yang berbeda selalu ada pecahan lain, misalnya rata-ratanya, jadi pecahan tak pernah habis di antara dua tanda.
• Tidak setiap titik adalah pecahan: diagonal persegi satuan yang dipindahkan ke garis dengan jangka menandai √2, dan √2 adalah bilangan irasional.
• Membagi setiap langkah utuh menjadi empat bagian sama besar membuat 2/4 jatuh di tanda yang sama dengan 1/2: gagasan pecahan senilai dalam satu gambar.

Di mana muncul

• Penggaris, meteran, dan termometer adalah garis bilangan bersatuan, dan kebanyakan orang pertama kali bertemu bilangan di bawah nol pada termometer.
• Garis waktu di buku sejarah, tempat tahun-tahun sebelum Masehi membentang ke kiri seperti bilangan negatif.
• Sumbu x dan y setiap grafik adalah dua garis bilangan yang berpotongan di nol.
• Kelas sekolah dasar, tempat garis bilangan panjang di dinding dipakai untuk membilang maju, mundur, dan loncat.
• Pelajaran pecahan, tempat garis yang dibagi menjadi bagian sama besar menunjukkan bahwa 1/2, 2/4, dan 4/8 adalah bilangan yang sama.