Zahlenstrahl

Der Zahlenstrahl ist jünger, als er aussieht. Die griechische Mathematik behandelte Zahlen und Längen als verschiedene Arten von Dingen, und die mittelalterliche europäische Arithmetik hatte für negative Zahlen keine Verwendung, also gab es links der Null nichts einzutragen. Die erste klare Beschreibung des Bildes, das wir heute zeichnen, steht in John Wallis’ Treatise of Algebra, 1685 in London erschienen. Um negativen Größen einen Sinn zu geben, stellte sich Wallis einen Mann vor, der auf einer Linie vor- und zurückgeht: Er geht fünf Yards vor und acht zurück und steht dann drei Yards hinter seinem Ausgangspunkt. Die negative Zahl war ein Ort auf der Linie, auf der anderen Seite des Starts.

Sobald Zahlen Positionen hatten, wurde die Linie zur Achse der Koordinatengeometrie, zum Lineal, an dem eine Kurve gemessen wird. Im neunzehnten Jahrhundert wurde sie noch genauer gefasst. Richard Dedekind definierte 1872 in einer kurzen Schrift die reellen Zahlen so, dass die Linie keine Lücken hat: Jeder Punkt auf ihr, auch solche wie √2, die kein Bruch erreicht, ist eine Zahl.

In der Schule ist der Zahlenstrahl ein Werkzeug für den Schritt vom Zählen zum Rechnen. Addieren ist ein Sprung nach rechts, Subtrahieren ein Sprung nach links, und so sieht ein Kind, warum 3 − 5 unter null landet. Niederländische Forscher am Freudenthal-Institut machten den „leeren Zahlenstrahl“ bekannt, der nur die Markierungen zeigt, die eine Aufgabe braucht, als Weg, Kopfrechnen auf Papier festzuhalten. Die Common-Core-Standards in den USA verlangen von Drittklässlern, einen Bruch als Zahl auf dem Zahlenstrahl zu verstehen – ein Viertel ist der erste von vier gleichen Teilen zwischen 0 und 1 –, und genau dafür sind die Teilungsstriche hier da.

Wichtige Eigenschaften

• Nach rechts werden die Zahlen größer, nach links kleiner; die Pfeilspitzen bedeuten, dass die Linie in beide Richtungen weitergeht.
• Der Abstand zweier Zahlen auf der Linie ist der Betrag ihrer Differenz, |a − b|, gleich in welcher Reihenfolge.
• Jede negative Zahl liegt so weit links der Null wie ihr positives Gegenstück rechts davon: −3 ist das Spiegelbild von 3 an der 0.
• Zwischen zwei verschiedenen Brüchen liegt immer ein weiterer, zum Beispiel ihr Mittelwert, die Brüche gehen zwischen zwei Markierungen also nie aus.
• Nicht jeder Punkt ist ein Bruch: Die Diagonale eines Einheitsquadrats, mit dem Zirkel auf die Linie geklappt, markiert √2, und √2 ist irrational.
• Teilt man jeden ganzen Schritt in vier gleiche Teile, landet 2/4 auf derselben Markierung wie 1/2 – die Idee gleichwertiger Brüche in einem Bild.

Wo sie auftauchen

• Lineale, Maßbänder und Thermometer sind Zahlenstrahlen mit Einheiten, und am Thermometer begegnen die meisten Menschen zum ersten Mal Zahlen unter null.
• Zeitleisten in Geschichtsbüchern, auf denen die Jahre vor unserer Zeitrechnung wie negative Zahlen nach links laufen.
• Die x- und die y-Achse jedes Diagramms sind zwei Zahlenstrahlen, die sich in der Null kreuzen.
• Grundschulklassen, in denen ein langer Zahlenstrahl an der Wand zum Weiterzählen, Zurückzählen und Zählen in Schritten dient.
• Bruchrechenstunden, in denen eine in gleiche Teile geteilte Linie zeigt, dass 1/2, 2/4 und 4/8 dieselbe Zahl sind.