Tabella del valore posizionale

Una tabella del valore posizionale rende visibile l’idea su cui poggia il sistema decimale: quanto vale una cifra dipende da dove si trova. Il 3 di 307 significa tre centinaia, il 3 di 37 tre decine, e lo zero è lì per occupare un posto vuoto in modo che il 3 resti dov’è.

La scrittura posizionale è più antica delle nostre cifre. Gli scribi babilonesi scrivevano i numeri secondo la posizione in base sessanta già intorno al 2000 a.C., ma per la maggior parte di quel tempo senza zero, così un posto vuoto andava indovinato dal contesto. Il sistema decimale usato oggi in tutto il mondo viene dall’India. Il manoscritto di Bakhshali, un testo di aritmetica su corteccia di betulla trovato nel 1881 vicino a Peshawar, usa un punto per lo zero, e una datazione al radiocarbonio pubblicata dalla Bodleian Library di Oxford nel 2017 ha collocato alcuni suoi fogli nel III o IV secolo d.C. Nel 628 Brahmagupta scrisse regole per calcolare con lo zero come numero a tutti gli effetti.

Il sistema viaggiò verso ovest passando per Baghdad, dove al-Khwarizmi scrisse sul calcolo indiano intorno all’825; le traduzioni latine di quell’opera diedero all’Europa la parola algoritmo. Il Liber Abaci di Fibonacci, del 1202, sostenne le nuove cifre contro quelle romane, che non hanno ordini.

Gli ordini a destra delle unità arrivarono più tardi. Al-Uqlidisi usava frazioni decimali a Damasco nel 952–953, e nel 1585 l’ingegnere fiammingo Simon Stevin pubblicò De Thiende, un breve opuscolo che voleva insegnare a tutti a calcolare con decimi, centesimi e millesimi. Il separatore decimale fu reso popolare da John Napier, che lo usò nel 1617. Le tabelle delle scuole indiane raggruppano ancora gli ordini a modo loro, in migliaia, lakh e crore.

Proprietà principali

• Ogni ordine vale dieci volte l’ordine alla sua destra: un migliaio sono dieci centinaia, e un centesimo è un decimo di un decimo.
• Il valore di una cifra è la cifra per il valore del suo ordine: il 5 di 52,4 vale 5 × 10 = 50.
• La scomposizione scrive un numero come somma di questi valori: 4.307 = 4.000 + 300 + 7.
• Uno zero dentro un numero occupa un posto: togli lo 0 da 4.307 e il 4 e il 3 scivolano a destra formando 437.
• Moltiplicare per 10 sposta ogni cifra di un posto a sinistra, dividere per 10 la sposta di un posto a destra.
• Nove ordini arrivano a 999.999.999, uno in meno di un miliardo.
• Gli ordini dopo la virgola, decimi, centesimi e millesimi, sono le frazioni 1/10, 1/100 e 1/1000.

Dove si incontrano

• L’abaco e il soroban giapponese, dove ogni asta è un ordine e ogni pallina conta unità, decine o centinaia di quell’ordine.
• I contachilometri e i contatori meccanici, dove ogni rotella è un ordine e fa scattare la successiva arrivata a dieci.
• Gli assegni e i moduli bancari che chiedono una somma in cifre e in lettere: la scomposizione, scritta a parole.
• Le classi indiane, le cui tabelle chiamano gli ordini unità, decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia, lakh, decine di lakh e crore, e raggruppano le cifre come 1,00,00,000.
• Il denaro: in 52,38 €, decimi e centesimi sono le monete da dieci centesimi e da un centesimo.